Numeros Primos

EQUAÇÃO DO 1º GRAU - MATEMÁTICA

m.m.c. e m.d.c. Mínimo múltiplo comum

PENA DE MORTE

Pena de morte: apedrejamento

Condenação de iraniana gera protestos no mundo

José Renato Salatiel*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A condenação à morte por apedrejamento da iraniana Sakineh Mohammadí Ahstiani provocou uma onda de manifestações contrárias ao presidente do Irã,Mahmoud Ahmadinejad , acusado de violação dos direitos humanos . Após sofrer pressão internacional, o governo iraniano manteve a pena capital para a mulher acusada de adultério, mas anunciou que mudaria a execução paraenforcamento.

Direto ao ponto: Ficha-resumo

Sakineh, 43 anos, é viúva e tem dois filhos, com idades de 17 e 22 anos. Ela foi condenada em 15 de maio de 2006 por um tribunal de Tabriz, maior cidade da província do Azerbaijão Ocidental, por manter "relacionamento ilícito" com dois homens. O caso teria ocorrido após a morte de seu marido. A pena imposta foi de 99 chibatadas.

Em setembro do mesmo ano, ela foi julgada novamente pelo crime e sentenciada à morte por apedrejamento. Este é considerado um dos métodos de execução mais cruéis que existem. De acordo com o Código Penal iraniano, a mulher é enterrada de pé até o peito ou o pescoço e recebe pedradas, atiradas por populares. As pedras não podem ser muito pequenas, a ponto de causarem poucos danos, nem muito grandes, de modo a prolongar a agonia do condenado. Casos de homens executados por lapidação são raros no país.

O Irã adotou a prática após a Revolução Iraniana de 1979, liderada pelo aiatolá Ruhollah Khoemini (1900-1989). A revolução depôs o regime monárquico e instituiu a autoridade máxima religiosa. A República Islâmica do Irã é o único regime do mundo que emprega sistematicamente a lapidação como pena de morte.

Sentença de morte

Segundo dados da ONG Comitê Internacional Contra o Apedrejamento, outros 24 iranianos receberam a mesma sentença e aguardam serem executados. A Anistia Internacional aponta o número de 11 pessoas, sendo 8 mulheres.

Em 31 anos, de acordo com a ONG, mais de 150 pessoas foram mortas no país por apedrejamento (há uma lista de 136, no site da entidade). O número de mortos teria aumentado após a coalizão conservadora que empossou o presidente Mahmoud Ahmadinejad em 2005. A entidade registrou também um aumento drástico das execuções no período de oito semanas entre as eleições presidenciais de 12 de junho até a posse de Ahmadinejad para o segundo mandato, em 5 de agosto do ano passado.

Os dados não são precisos devido ao acobertamento do governo iraniano. Segundo estimativas de 2009 da Anistia Internacional, o Irã possui o segundo maior número de réus executados no mundo (388), perdendo apenas para aChina, com mil mortes no ano (número que ultrapassa as 714 execuções registradas pela Anistia em 18 países, em 2009).

A região do Oriente Médio possui a maior taxa per capta de execuções no mundo. Além do Irã, foram registradas mortes no Iraque (120), Arábia Saudita (69), Estados Unidos (52), Yemen (30), Sudão (9), Vietnã (9), Síria (8) e Japão (7). Apenas no Japão e nos Estados Unidos os números são oficiais. Para os demais países, a organização adotou a estimativas mínimas. Os métodos utilizados nas sentenças foram a forca, o fuzilamento, a decapitação, a lapidação, a eletrocussão e a injeção letal.

Para especialistas, a lapidação é usada com fins políticos no Irã, para aterrorizar os inimigos políticos e conter protestos contra o governo. Em alguns casos, a acusação é baseada em argumentos religiosos, que lembram a Inquisição. O próprio julgamento de Sakineh é alvo de desconfianças por falta de provas e restrições à defesa. Até mesmo o advogado de defesa da iraniana teve que buscar asilo político na Noruega para escapar da perseguição do governo.

No último dia 8 de agosto, o Irã anunciou a condenação de um rapaz de 18 anos, preso há dois anos em Tabriz, por homossexualismo. A pena prevista na legislação pode ser de chibatadas ou morte por apedrejamento ou enforcamento. No dia seguinte, uma mulher afegã foi chicoteada e executada a tiros, em público, por cometer suposto adultério, no Afeganistão.

Os tribunais do Afeganistão, Paquistão e Somália também preveem a morte por apedrejamento. Em outubro de 2009, islâmicos somalis executaram por apedrejamento, em público, uma mulher de 23 anos acusada de adultério.

Asilo político

Após o anúncio da pena de Sakineh, ocorreram protestos em várias capitais européias e americanas, com simulações de lapidações. Órgãos internacionais de defesa dos direitos humanos iniciaram campanhas para reverter a condenação do governo iraniano, que é signatário de tratados internacionais.

Para justificar a pena de morte, o Estado informou que a ré também foi condenada por assassinato - ela teria participado, segundo a Justiça iraniana, da morte do marido.

No dia 31 de julho, o presidente Luiz Inácio Lula da Silva, que defendeu anteriormente o polêmico programa nuclear iraniano, disse que concederia asilo político à Sakineh no país. O Itamaraty formalizou a oferta, mas o governo do Irã rejeitou no dia 10 de agosto. A rejeição aconteceu no mesmo dia em que o governo brasileiro firmou um decreto que aprova as resoluções daOrganização das Nações Unidas (ONU), com sanções contra o Irã, por conta doprograma nuclear .

A legislação iraniana prevê que a pena pode ser revertida para encarceramento caso a família do marido perdoe a condenada pelo crime. Se isso não acontecer, ela pode ser morta nos próximos dias. 

MF Matemática - Vídeo-Aula 1 - Expressões Numéricas

ELEIÇÕES 2010+

PROCURADORIA PEDE CASSAÇÃO DOS REGISTROS E INELEGIBILIDADE POR OITO ANOS DE CAHULLA, TIZIU, IVO CASSOL E SEUS SUPLENTES

Publicado por Redação [reportagem] em 13/8/2010 (599 leituras)

Eles responderão por abuso do poder político e econômico, e uso abusivo da mídia do governo, promovendo os candidatos.

A Procuradoria Regional Eleitoral (PRE) de Rondônia ingressou com uma ação de investigação judicial eleitoral (Aije) contra o atual governador e candidato à reeleição João Aparecido Cahulla, o candidato a vice-governador Tiziu Jidalias, o candidato a senador Ivo Narciso Cassol e seus suplentes. Eles responderão por abuso do poder político e econômico, e uso indevido dos meios de comunicação.

Com base na Lei Complementar nº 135/2010 (conhecida como Lei da Ficha Limpa), a PRE pede a cassação dos registros de candidaturas dos representados para as eleições de 2010 e a inelegibilidade por oito anos. A argumentação da PRE se baseia em fatos que revelam a utilização da máquina administrativa em favor de Cahulla e Cassol. Como a Justiça Eleitoral estabelece que candidatos a vice-governador e candidatos a suplentes de senador devem fazer parte do processo, Tiziu, Reditário Cassol e Odacir Soares também foram incluídos na ação.

O primeiro fato apresentado pela PRE foi a carreata de tratores adquiridos pelo Governo do Estado. Consta na ação que “valendo-se de projeto da Secretaria de Estado da Agricultura, o então governador Ivo Narciso Cassol assinou, nos dias 30 e 31 de dezembro de 2009, dois convênios superiores a 6,8 milhões reais com a Emater (empresa de assistência técnica rural) para a aquisição de insumos agrícolas, dentre eles, tratores”.

Para a PRE, “a aquisição dos tratores transfigurou-se em verdadeira promoção pessoal de João Cahulla”. Com ampla divulgação na imprensa estadual, os tratores foram levados em comboio ao longo da BR-364, passaram pelas principais ruas dos municípios, desde Vilhena até Porto Velho, terminando por ficarem estacionados na Avenida Jorge Teixeira, uma das vias mais movimentadas da capital.

Em vários municípios, onde houve a entrega dos tratores, foram colocadas faixas com a logomarca do Governo do Estado e de agradecimento ao governador João Cahulla. Para o procurador regional eleitoral Heitor Alves Soares, “um ato de administração transformou-se em verdadeira promoção de Cahulla, que passou a entregar pessoalmente os tratores”.

DISTRIBUIÇÃO DE BENS

O segundo fato apontado pela PRE diz respeito à distribuição de ambulâncias, caminhões, camionetes, micro ônibus, assinatura de ordem de serviço de asfaltamento de diversos trechos de vários municípios e a inauguração de obras incompletas, como o Hospital Regional e Aeroporto de Cacoal.

A PRE argumenta que o ex-governador Ivo Narciso Cassol também assinou 236 repasses de recursos nos dias 30 e 31 de dezembro de 2009 “para burlar a Lei das Eleições que proíbe a distribuição gratuita de bens, valores ou benefícios por parte da Administração Pública em ano eleitoral, exceto nos casos de calamidade pública, de estado de emergência ou de programas sociais autorizados em lei e já em execução orçamentária no exercício anterior”. O Ministério Público Eleitoral afirma que o aumento “expressivo” nos repasses pode ser medido em comparação ao total de convênios firmados de janeiro a novembro do mesmo ano – 306, conforme informações do Tribunal de Contas do Estado (TCE).

Além disto, houve inauguração de obras inacabadas e que até o momento não entraram em funcionamento, como o Hospital Regional de Cacoal e o Aeroporto daquele município. “Não obstante, houve o uso da mídia para divulgar as obras como concluídas, como realização dos representados”, afirma o procurador.

USO ABUSIVO DA MÍDIA

O terceiro fato apontado pela PRE refere-se à “publicação maciça de matérias supostamente jornalísticas, produzidas pelo Departamento de Comunicação do Estado de Rondônia - Decom, promovendo os candidatos”. A prática consistiu em publicação quase diária de notícias destacando realização ou inauguração de obras, distribuição de tratores, sementes de feijão, asfaltamento de ruas e estradas, entre outros. Para a PRE, isto “contribui sobremaneira para exercer poderosa e imediata influência no pleito eleitoral que se aproxima, maculando-o e desequilibrando-o irremediavelmente”.

A Procuradoria Regional Eleitoral argumenta que diversos veículos de comunicação têm contratos de publicidade com o Governo de Rondônia. “Os textos supostamente jornalísticos e as fotografias realizadas são produzidas pelos servidores do Executivo Estadual, através do Decom, que 'solicita' ou 'sugere' aos meios de comunicação a publicação, no que sempre são atendidos”, relata o procurador regional eleitoral Heitor Alves Soares.

Consta na ação que “inicialmente, as matérias repercutiam as atividades dos dois (Cassol e Cahulla), enquanto governador e vice-governador. Após a renúncia de Ivo Narciso Cassol, o representado João Cahulla passou a protagonizar as publicações impressas, de Internet e do sítio do governo do Estado (www.rondonia.ro.gov.br)”.

Segundo a PRE, o abuso de poder econômico e o conseqüente uso abusivo da mídia são inegáveis porque envolvem grandes somas de recursos públicos. “Recorre-se a uma categoria lícita - divulgação de matérias supostamente de cunho jornalístico, autorizada legalmente - para promover os candidatos como sendo os melhores nomes para as próximas eleições, desequilibrando o pleito eleitoral”, diz o procurador, na ação.

Ele acrescenta que a cobertura publicitária em nome dos representados “destoou dos parâmetros legais de publicidade dos atos públicos e da impessoalidade e deslocou-se para o campo do ilícito eleitoral, ao vincular ações da Administração Pública às pessoas dos representados”. Como exemplo, ele cita que entre 1º de março a 22 de junho de 2010, o nome de Cahulla foi mencionado mais de 350 vezes nos diversos veículos de comunicação.

COMPETIÇÃO DESIGUAL

“O princípio mais caro a uma democracia, no plano dos governantes, é o da isonomia, o da igualdade de possibilidade de acesso dos pretendentes a um cargo eletivo”, afirma o procurador Heitor Soares. Ele conclui que os três fatos apontados criaram “um diferencial em relação aos demais pretendentes a ocupar um cargo público”.



TEXTO: MPF/RO (www.prro.mpf.gov.br)
FOTO: DIVULGAÇÃO

GEOMETRIA POLIEDROS

A palavra poliedro tem sido usada em diferentes épocas por diferentes pessoas com os mais variados significados (muitas vezes, incompatíveis entre si). Não é raro que uma mesma pessoa use o mesmo termo com interpretações diferentes em momentos diferentes. Sem uma definição precisa, interpretações equivocadas (como, por exemplo, sobre a validade do Teorema de Euler) podem aparecer. Segundo [Grünbaum, 2003]: Desde a Grécia antiga, matemáticos tentam determinar o número de poliedros regulares. Um estudo dos cinco “sólidos platônicos” é o tópico final dos Elementos de Euclides. Embora esta lista de poliedros regulares fosse considerada completa, dois milênios depois, Kepler encontrou dois outros poliedros regulares e, no início do século XIX, Poinsot encontrou mais dois; Cauchy então demonstrou que não existiam outros. Mas, na década de 1920, Petrie e Coxeter encontram três novos poliedros regulares e provaram a completude desta enumeração. Contudo, em 1977 eu descobri uma nova classe de poliedros regulares e, em seguida, Dress provou que acrescentando mais um poliedro, a lista de poliedros regulares estava completa. Então, cerca de dez anos atrás, eu encontrei mais uma nova categoria de poliedros regulares e, até agora, ninguém afirmou que todos os poliedros regulares foram finalmente encontrados. Como a contagem do número de poliedros regulares estabelecida por matemáticos distintos como Euclides, Cauchy, Coxeter e Dress é logo desmentida a seguir? A resposta é muito simples – todos os resultados estão corretos; o que mudou é o significado do termo “poliedro” adotado por cada um destes matemáticos. Enquanto pessoas diferentes interpretarem o conceito (de poliedro) de maneira diferente, sempre existirá a possiblidade de que resultados sejam verdadeiros sob uma interpretação e sejam falsos sobre outra interpretação. De fato, mesmo variações sutis na definição podem produzir mudanças significativas na validade dos resultados. Moral: ao ler um artigo ou livro sobre poliedros, é preciso identificar qual é a definição que está sendo usada pelo autor [como já nos ensinava Humpty Dumpty, personagem da obra “Alice no País dos Espelhos” de Lewis Carroll (1832-1898)].

DEFINIÇÕES

Definição (Poliedros). Um poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono. Cada um destes polígonos chama-se uma face do poliedro, cada lado comum a duas faces chama-se uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é também chamado vértice do poliedro [Lima et alii, 2006]. Definição (Poliedros Convexos). Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior deste poliedro. Dizemos que um poliedro é convexo se o seu interior C é convexo, isto é, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C. Em um poliedro convexo toda reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em, no máximo, dois pontos. [Lima et alii, 2006]. De acordo com a definição dada acima, um poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos satisfazendo certas condições. Se o poliedro é convexo, ele limita uma região do espaço: o seu interior. A reunião do poliedro com seu interior constitui o que chamamos de um sólido. Um poliedro é “oco”, enquanto que um sólido é “maciço”. No que se segue e no software desta atividade, intercambiaremos livremente os termos poliedro e sólido. Não existe perigo de confusão (pelo menos para os objetos que aqui estudaremos), pois um sólido fica definido sem ambiguidades a partir da descrição de sua superfície (isto é, da sua “casca”, que é o poliedro correspondente) e vice-versa [Hoffmann, 1989]. Definição (Poliedros Convexos Regulares: Os Sólidos Platônicos). Um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. [Lima et alii, 2006]. Busto de Platão pertencente ao Museu do Vaticano. É possível demonstrar que existem apenas cinco poliedros convexos regulares, os sólidos platônicos: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Os nomes dos sólidos platônicos foram dados devido a forma pela qual Platão (427 a.C.-34 a.C.), em um diálogo intitulado Timeu, os empregou para explicar a natureza. Definição (Poliedros Convexos Semirregulares: Os Sólidos Arquimedianos). Um sólido arquimediano é um poliedro convexo cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo e cujos vértices são todos congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo (número e ordem) de polígonos em torno de cada vértice. [Cundy e Rollett, 1974]. Retrato de Arquimedes na Medalha Fields. É possível demonstrar que existem apenas treze sólidos arquimedianos: o tetraedro truncado, o cuboctaedro, o octaedro truncado, o cubo truncado, o (pequeno) rombicuboctaedro, o cuboctaedro truncado (ou o grande rombicuboctaedro), o cubo achatado, o icosidodecaedro, o icosaedro truncado, o dodecaedro truncado, o (pequeno) rombicosidodecaedro, o icosidodecaedro truncado (ou o grande rombicosidodecaedro) e o dodecaedro achatado. Definição (Sólidos de Catalan). Os sólidos de Catalan são os poliedros duais dos sólidos arquimedianos [Cromwell, 1997]. Retrato de Eugène Charles Catalan. O nome é uma homenagem ao matemático belga Eugène Charles Catalan que publicou um artigo em 1865 descrevendo estes sólidos. As faces dos sólidos de Catalan não são regulares. Definição (Sólidos de Johnson). Os sólidos de Johnson são poliedros convexos cujas faces constituem polígonos regulares e todas as arestas possuem o mesmo comprimento, excluindo-se os sólidos platônicos, os sólidos arquimedianos e as duas famílias infinitas de prismas e antiprismas [Weisstein, 2009]. Retrato de Norman Johnson. O nome é uma homenagem ao matemático Norman Johnson que, em 1966, conjecturou a existência de apenas 92 sólidos satisfazendo a definição acima. Em 1969, o também matemático Victor Zalgaller provou que a lista de Johnson era completa. Retrato de Victor Zalgaller. Definição (Prismas). Um prisma é um poliedro convexo que possui duas faces congruentes, chamadas de bases, e cujas faces restantes, chamadas faces laterais, são compostas por paralelogramos [Weisstein, 2009]. Um prisma reto é aquele em que as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma reto, as faces laterais são formadas por retângulos. Um prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases. Um prisma regular é aquele cujas bases são polígonos regulares (alguns autores exigem que um prisma regular também seja reto). As bases de um prisma definem o seu nome. Por exemplo, se as bases forem quadradas, diz-se que o prisma é quadrangular. Os duais dos prismas são os diamantes (também conhecidos como bipirâmides). Existem infinitos prismas, mesmo regulares. Definição (Antiprismas). Um antiprisma é um poliedro convexo formado por duas cópias paralelas de um mesmo polígono convexo, as bases, que são conectadas por uma faixa de polígonos triangulares, as faces laterais [Weisstein, 2009]. Os vértices do antiprisma são dados pelos vértices de suas bases. O número de lados das bases definem o nome do antiprisma. Três lados formam um antiprisma triangular. Cinco lados, um antiprisma pentagonal, e assim por diante. Alguns autores exigem, além das condições estabelecidas na definição acima, que o poliedro tenha todas as faces regulares. Existem infinitos antiprismas, mesmo regulares. Se as bases possuem n lados, então existem 2n faces laterais (triangulares). Os duais dos antiprismas são os trapezoedros (também conhecidos como deltoedros). Os antiprismas foram apresentados por Johannes Kepler, em 1619, no seu livro “A Harmonia dos Mundos”.

DUALIDADE

Dizemos que dois poliedros convexos P e D são duais um do outro se existe uma bijeção f da família de vértices e faces de P na família de vértices e faces de D, que satisfaz às seguintes propriedades: (1) se V é um vertíce de P, então f(V) é uma face de D; (2) se F é uma face de P, então f(F) é um vértice de D e (3) V é vértice da face F deP se, e somente se, f(F) é vértice da face f(V) de D [Grünbuam & Shephard, 1988]. O cubo e o octaedro são exemplos de poliedros duais. Na figura abaixo, encontra-se um diagrama que explicita uma bijeção entre as famílias de vértices e faces de cada poliedro: a associação entre os vértices do cubo e as faces do octaedro está indicada por números e a associação entre as faces do cubo e os vértices do octaedro está indicada por letras. Note que um poliedro pode ter mais de um dual. Por exemplo, um octaedro não regular também é um dual do cubo. Para o caso particular dos sólidos platônicos, existe uma maneira muito natural de se construir uma bijeção entre um sólido platônico com um de seus duais: dado um sólido platônico P, considere o poliedro convexo D cujos vértices são os centros das faces de P e cujas faces são polígonos convexos com vértices nos centros das faces de P, faces estas que concorrem em um mesmo vértice de P. Esta relação geométrica particular já foi percebida por Johannes Kepler (1571-1630) que a explicitou em seu livro “A Harmonia dos Mundos” de 1619. Johannes Kepler (1571-1630). Dualidade dos sólidos platônicos indicada no livro “A Harmonia dos Mundos” de Johannes Kepler. É importante notar, contudo, que o sistema idealizado por Kepler, via centros das faces, não pode ser aplicado para um poliedro convexo geral. De fato, este é um equívoco comum, cometido até mesmo por livros consagrados de matemática, química e cristalografia. Qual é o problema? Considere, como exemplo, o sólido arquimediano cuboctaedro: os centros das faces que deveriam formar os vértices da face do dual não são coplanares e, portanto, o objeto construído seguindo-se a receita de Kepler não é um poliedro. O cuboctaedro e seu dual topológico (que não é um poliedro). Felizmente, existe um algoritmo que obtém um dual de qualquer poliedro convexo. O ponto de partida é o conceito de inversão com relação a uma esfera: escolhida uma esfera de centro em O e raio r, o inverso de um ponto V com relação a esta esfera é o ponto V' sobre a semirreta de origem O e passando pelo ponto V, tal que d(O, V) · d(O, V') = r2. Aqui d(O, V) representa a distância entre os pontos O e V. Do mesmo modo, d(O, V') representa a distância entre os pontos O e V'. Note que V' depende da esfera escolhida inicialmente e que ele está bem definido para todo ponto V diferente de O. Mais ainda: se V está no interior da esfera, então V' está no exterior da esfera e se V está no exterior da esfera, então V' está no interior da esfera. Quando V está sobre a superfície da esfera, ocorre queV' = V. V' é o inverso de V com relação a esfera. Para cada ponto V diferente de O, vamos agora associar o plano que passa por V' e que é perpendicular ao segmento que liga O a V'. Quando V for um vértice de um poliedro, este plano conterá a face do poliedro dual associado a V. Se V e W são vértices adjacentes de um poliedro, isto é, se V e W são extremidades de uma aresta do poliedro primal, então a interseção dos planos passando por V' e W' conterá a respectiva aresta do poliedro dual. Aplicando-se este processo para os vários vértices do poliedro dual, obtém-se as faces, arestas e vértices do poliedro dual. Construção das faces e arestas do poliedro dual. Escolhas diferentes de esferas geram duais diferentes. A figura da esquerda, abaixo, exibe um dual de um tetraedro regular usando a esfera inscrita do tetraedro regular como esfera de inversão. Neste caso, o dual também é um tetraedro regular e ele coincide com o dual obtido seguindo-se a receita de Kepler. Já a figura da direita usa uma esfera cujo centro não coincide com o centro do tetraedro regular. O dual obtido é ainda um tetraedro, mas ele não é mais regular. Um dual do tetraedro regular.     Outro dual do tetraedro regular.

REFERÊNCIAS

Boissonnat, J.-D.; Yvinec, M. Algorithmic Geometry. Cambridge University Press, 2008. Cromwell, P. R. Polyhedra. One The Most Charming Chapters of Geometry. Cambridge University Press, 1997. Cundy, H. M.; Rollet, A. P. Mathematical Models. Second Edition. Oxford Univeristy Press, 1961. Eppstein, D. Nineteen Proofs of Euler's Formula: V − E + F = 2. Information and Computer Sciences, University of California, Irvine, 2009. Gailiunas, P.; Sharp, J. Duality of Polyhedra. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 36, no. 6, pp. 617-642, 2005. Grünbaum, B. Are Your Polyhedra The Same as My Polyhedra?. Em Aronov, B.; Basu, S.; Pach, J.; Sharir, M. (editores). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift. Springer-Verlag, pp. 461-588, 2003. Grünbaum, B.; Shephard, G. C. Is Selfduality Involutory?. The American Mathematical Monthly, vol. 95, n. 8, pp. 729-733, 1988. Grünbaum, B.; Shephard, G. C. A New Look at Euler's Theorem for Polyhedra. The American Mathematical Monthly, vol. 101, n. 2, pp. 109-128, 1994. Grünbaum, B.; Shephard G. Duality of Polyhedra. Em Senechal, M; Fleck, G. (editores). Shaping Space – A Polyhedral Approach. Birkhäuser, 1988. Hoffmann, C. M. Geometric and Solid Modeling: An Introduction. Morgan Kaufmann Publishers, 1989. Kappraff, J. Connections. The Geometric Bridge Between Art and Science. Second Edition. World Scientific, 2001. Kepler, J. Harmonices Mundi. Lincii Austriæ, sumptibus Godofredi Tampachii excudebat Ioannes Plancvs, 1619. Disponível gratuitamente em formato eletrônico na Biblioteca Digital da Carnegie-Mellon University. Lima, E. L. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 1991. Lima, E. L. et alii. A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. Richeson, D. S. Euler's Gem. The Polyhedron Formula and The Birth of Topology. Princeton University Press, 2008. Wagner, E. V − A + F = 2. Existe o Poliedro?. Revista do Professor de Matemática, n. 47, pp. 5-11, 2001. Weisstein, E. W. MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/, 20 FONTE: www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/definicoes-br.html

Terremoto na Italia causa mortes e destruições - Italy Earthquake - L`aq...

ORIGEM DA TERRA

A idade da Terra é calculada a partir da idade das Origem da Terra mais antigas que foram encontradas na superfície terrestre. O processo de cálculo da idade das Origem da Terra é realizado através de medições radiométricas. Através dos dados colhidos nestas pesquisas, remonta-se a origem de nosso planeta em torno de 4,6 bilhões de anos.

Composição e movimentos

A Terra é formada basicamente por três camadas: crosta, manto e núcleo. A crosta é a parte mais superficial, onde vivem as pessoas. O manto, região intermediária, constitui-se principalmente de silício, ferro e magnésio. O núcleo, camada mais interna, compõem-se por ferro e níquel e localiza-se a cerca de 6. 500 km abaixo da superfície. O movimento de rotação da Terra em torno do próprio eixo é feito no sentido oeste para leste. Dura cerca de 23h 56min 4s e é responsável pelo dia e pela noite. O de translação ao redor do Sol é feito em aproximadamente 365 dias 5h 48min 45,97s. O eixo de rotação é inclinado em relação ao plano da órbita (chamada elíptica) em 23º 27'. Essa inclinação provoca alterações na insolação dos diferentes hemisférios terrestres ao longo do ano, produzindo o fenômeno das quatro estações.

Núcleo

O núcleo, com cerca de 3400 km de raio, é formado por Origem da Terra e por uma liga metálica constituída principalmente de ferro e níquel a uma temperatura por volta de 3500º C. Sua consistência é líquida, mas supõe-se que mais no interior exista um núcleo sólido.

Manto

O manto é uma grossa camada rochosa, com cerca de 2900km de espessura, que envolve o núcleo e que compõe a maior parte da massa terrestre. É formado principalmente por silício e magnésio. Sua consistência é pastosa e está em constante movimentação. A lava que sai dos vulcões é constituída pelo magma (Origem da Terra derretidas) proveniente do manto.

Crosta Terrestre

É a parte externa consolidada do globo terrestre.

É reconhecida duas zonas que formam a crosta nas regiões continentais. A primeira zona é a superior, chamada de sial (devido ao predomínio de Origem da Terra graníticas, ricas em silício e alumínio). A zona inferior é conhecida por sima, pelo fato de se acreditar que nesta porção da crosta haja a predominância de silicatos de magnésio e ferro.

Acredita-se que a espessura da crosta (sial + sima) se encontre numa profundidade média de 35 - 50 Km. Esse dado foi conseguido indiretamente, através de estudos modernos na área da geofísica.

Supõe-se que os substratos dos oceanos sejam compostos pelo sima, devido ao fato do sial granítico se adelgar até desaparecer nas margens dos continentes.

As extensas porções de água - a hidrosfera - isolam regiões mais elevadas da crosta, formando os continentes.

A crosta terrestre é subdividida em placas - as placas tectônicas. Sobre elas estão apoiados os continentes. Essas placas estão em constante movimento, impulsionadas pelas correntes do manto. Portanto, os continentes se deslocam sobre o magma, como se estivessem flutuando. Esse fenômeno é chamado deriva continental.

No passado essa movimentação provocou a formação de cordilheiras e grandes conjuntos montanhosos. Atualmente, nos limites que separam as placas tectônicas em movimento situam-se regiões sujeitas a terremotos e erupções vulcânicas.

A deriva continental é quase imperceptível: poucos centímetros por ano. Mas como a Terra existe há muitos milhões de anos, a posição dos continentes mudou várias vezes no decorrer desse tempo.

Há evidências que indicam a inexistência da crosta em determinados planetas. Isso é mostrado através de observações sísmicas realizadas à superfície da Lua e Marte.

A crosta terrestre é formada por Origem da Terra, ou seja, agregados naturais de um ou mais minerais, incluindo vidro vulcânico e matéria orgânica. Observa-se três tipos de Origem da Terra de acordo com sua gênese: Origem da Terra magmáticas, metamórficas e sedimentares. A petrologia responsabiliza-se pelo estudo sistemático das Origem da Terra.

Através de pesquisas, realizou-se um balanço sobre a percentagem em que são encontradas as Origem da Terra (magmáticas, metamórficas e sedimentares) na crosta terrestre.

Proporção aproximada das Origem da Terra que ocorrem na crosta terrestre, segundo A. Poldervaart

Sedimentos............................................6,2%

Granodioritos, granitos, gnaisses............. 38,3 %

Andesito................................................ 0,1 %

Diorito....................................................9,5%

Basaltos.................................................45,8%

As Origem da Terra de origem magmáticas, juntamente com as Origem da Terra metamórficas originadas a partir da transformação de uma rocha magmática, representam cerca de 95% do volume total da crosta, ocupando porém 25% da superfície da mesma. As Origem da Terra sedimentares mais as Origem da Terra metassedimentares, representam apenas 5% do volume, mas no entanto cobrem 75% da superfície da crosta. Essas Origem da Terra formam uma delgada película que envolve a Terra em toda a sua superfície, originando a litosfera.

Embora exista uma enorme variedade de Origem da Terra magmáticas (cerca de 1000), seus minerais constituintes se apresentam em pequenas quantidades, e a participação desse tipo de rocha na formação da crosta é bem reduzida.

Os dados discutidos anteriormente referem-se a toda crosta. No entanto, se fossem pesquisados separadamente continentes e oceanos, ter-se-iam, quanto a derivação das Origem da Terra magmáticas, dados interessantes como: 95% das Origem da Terra intrusivas pertencem à família dos granitos e granodioritos e se encontram nos continentes; já 95% das Origem da Terra efusivas são basálticas e mais freqüentemente presentes no fundo dos oceanos. Com isso, pode-se concluir que as Origem da Terra magmáticas existentes nos continentes possuem essencialmente material granítico, e que as Origem da Terra magmáticas existentes no fundo dos oceanos são formadas basicamente de material basáltico, sendo quase isentos da camada de material granítico (sial).

O basalto é uma rocha derivada do manto superior (regiões profundas da crosta).

Os granitos são Origem da Terra formadas em profundidade, através da transformação de Origem da Terra que já estiveram na superfície. As Origem da Terra de superfície de alguma forma vão se acumulando em grossas camadas nas profundezas da crosta e, sob o efeito de grandes pressões e aquecimento, transformam-se em Origem da Terra metamórficas e posteriormente em granitos, seja por refusão ou por metamorfismo granitizante. Esse fenômeno ocorre nos geossinclinais.

A constituição química da crosta diz respeito aos vários elementos químicos que a compõem. Para se ter conhecimento de tais elementos, é necessário identificar o volume e a composição das Origem da Terra presentes na crosta.

Para a identificação dos componentes químicos da crosta, é lançado mão de algumas técnicas, como exemplo, a metodologia de Clark e Washington, que consiste em se tirar a média ponderada de numerosas análises de Origem da Terra e em seguida montar uma tabela dos elementos encontrados e suas respectivas percentagens.

Placas tectônicas

Nome pelo qual são conhecidas as placas litosféricas – camadas rochosas superficiais que formam a crosta terrestre – e que estão em constante, embora lento, movimento, chamado de tectonismo. O deslocamento dá origem a novas estruturas de relevo e provoca abalos sísmicos, conhecidos como terremotos. As principais placas são: a Sul-Americana, a Eurasiática, a Indo-Australiana, a do Pacífico, a Africana, a Antártica e a Norte-Americana.

Algumas dessas placas estão separadas por fendas vulcânicas, que permanecem em atividade constante no fundo do mar. Através dessas fendas, o magma (matéria viscosa com temperatura de até 1.200º C) sobe do manto, a camada logo abaixo da crosta terrestre, adicionando novos materiais à superfície.

A solidificação do magma que transborda ao longo das fendas forma grandes cordilheiras conhecidas como dorsais oceânicas. A maior dorsal do mundo é a Meso-Atlântica, que se estende de norte a sul sob o Oceano Atlântico. Tem 73 mil km e possui picos submersos de até 3.800 m de altura.

O magma que se eleva para a crosta provoca uma expansão do fundo oceânico, movimentando as placas. Tal movimento faz com que elas se afastem e se choquem, causando alterações no relevo, como, por exemplo, a formação de fossas abissais – áreas de profundas depressões no fundo dos oceanos e mares, caso da Fossa do Japão, de 6 mil metros de profundidade. Quando as placas se chocam nas bordas dos continentes, formam cadeias montanhosas, caso da Cordilheira dos Andes, na América do Sul.

Terremotos

Tremores de terra causados geralmente pela movimentação das placas, os terremotos acontecem principalmente nas regiões de atividade vulcânica, como nas margens ocidentais da América; centro, oriente e sul-oriente da Ásia; e na região mediterrânica – áreas que coincidem com as fronteiras entre as placas. Quando os abalos acontecem no fundo dos oceanos, movimentam grande quantidade de água. Nas proximidades das costas continentais provocam ondas de até 20 m de altura, conhecidas como maremotos.

No Brasil não ocorrem grandes terremotos porque as Origem da Terra que compõem a crosta são terrenos estáveis que não sofrem grandes acomodações no decorrer do tempo. Apesar disso, está sujeito a pequenos tremores, só registrados por sismógrafos.

Fonte: www.biomania.com.br

Volcanic Eruption

FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS

O papel das frações e números Decimais

Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.

Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais simples.

Elementos históricos sobre os números Decimais

Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.

Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.

Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.

1437			1	2	3
	=	1,	4	3	7
1000

A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.

437 100	= 4,37

Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.

Frações e Números Decimais

Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.

Exemplos de frações decimais, são:

1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/10³

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:

127 100	=	1,27

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

127 100	=	100+27 100	=	100 100	+	27 100	= 1+0,27 = 1,27

A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.

Leitura de números decimais

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Centenas	Dezenas	Unidades	,	Décimos	Centésimos	Milésimos

Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:

1 Centena	3 dezenas	0 unidades	,	8 décimos	2 centésimos	4 milésimos

Exemplos:

0,6	Seis décimos
0,37	Trinta e sete centésimos
0,189	Cento e oitenta e nove milésimos
3,7	Três inteiros e sete décimos
13,45	Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824	Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos

Transformando frações decimais em números decimais

Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira		parte fracionária
0	,	1

Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira		parte fracionária
2	,	31

Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:

(a) 130/100  = 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000   = 0,005

Transformando números decimais em frações decimais

Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:

(a) 0,5   = 5/10
(b) 0,05  = 5/100
(c) 2,41  = 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000

Propriedades dos números decimais

Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:

(a) 0,5          = 0,50 = 0,500 = 0,5000
(b) 1,0002       = 1,00020 = 1,000200
(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10   = 74
(b) 7,4 x 100  = 740
(c) 7,4 x 1000 = 7400

Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:

(a) 247,5 ÷ 10   = 24,75
(b) 247,5 ÷ 100  =  2,475
(c) 247,5 ÷ 1000 =  0,2475

Operações com números decimais

Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:

(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:

(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723

(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:

1. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número,
2. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número,
3. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc),
4. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e
5. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.

Dois exemplos:

2,400     2,400
+ 1,723   - 1,723
-------   -------

(c) Realizar a adição ou a subtração.

Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:

2,25×3,5 =	225 100	×	35 10	=	225×35 100×10	=	7875 1000	= 7,875

Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

	2,25	2 casas decimais	multiplicando
x	3,5	1 casa decimal	multiplicador
	1125
+	675
	7875
	7,875	3 casas decimais	Produto

Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.

3,6÷0,4 =	3,6 0,4	=	36×10 4×10	=	36 4	= 9

Um outro exemplo:

0,35÷7=	0,35 7	=	0,35×100 7×100	=	35 700	=	35÷7 700÷7	=	5 100	= 0,05

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.

Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?

Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.

dividendo	3500	700	divisor
resto	0	0,05	quociente

Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.

Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.

10	16
	?

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.

100	16
	0,

(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.

100	16
-96	0,6
4

(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.

100	16
-96	0,6
40

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.

100	16
-96	0,62
40
-32
8

(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.

100	16
-96	0,625
40
-32
80
-80
0

A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.

Comparação de números decimais

A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual).

Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:

(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
(b) 3,7 < 5,4,  pois 3 é menor do que 5.

Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:

(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.
(c) 4,3 = 4,3    pois 4=4 e 3=3.

Porcentagem

Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:

• A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
• Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
• O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)

A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem.

Exemplos:

(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que

30 100	= 30%

(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:

40 100	=	X 300

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120

Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.

(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?

45 100	=	X 200

o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110 páginas.

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	Construída por Liliane E. Banzatto e Ulysses Sodré.