OS PRODUTOS NOTÁVEIS

OS PRODUTOS NOTÁVEIS

O que é preciso saber:

Os produtos notáveis que mais se destacam na álgebra são :

( a + b )² ; ( a – b )² ; ( a + b ) ( a – b ) ; (a + b )³ ; (a – b )³

Vamos desenvolver propiedade distributivas

 

1) ( a + b )²  = ( a + b ) ( a + b )

    ( a + b )²  =  a² + ab + ab + b²

    ( a + b )²  =  a² + 2ab + b²

 

2) ( a – b )²  =  ( a – b ) ( a – b )

    ( a – b )²  =  a² - ab –  ab + b²

    ( a – b )²  =  a² -2 ab  +  b² 

 

3)   ( a + b ) ( a – b ) =  a² - ab + ab – b²

 

     ( a + b ) ( a – b ) =  a² - b²

Obs : O conjugado de (a + b ) é  ( a – b ) e sempre quando os multiplicamos obtemos como resultado a diferença entre dois quadrados ( a + b ) ( a – b ) = a² - b²

4) ( a + b )³ = ( a + b )²  ( a + b )

 

    ( a  + b)³ = ( a² + 2ab + b² ) ( a +b )

 

   ( a + b )³ =  a³ +  a²b  + 2a²b + 2ab²  +  ab²  + b³

    ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

MACETE

Para desenvolver (a + b )⁴     passo a passo

1º passo : coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades assim :

     a^{4 .....................................................................}b⁴

2 º passo : entre  a⁴ e b⁴ coloque os produto ab ( n-1) vezes obtemos :

      a⁴ + ab + ab + ab + b⁴

3º passo : decrescer os expoentes a⁴  até  a¹  e crescer os expoentes b¹  até  b⁴ veja :

 a⁴  + a³b¹ + a²b² + a b + b⁴ 

4º passo : coloque o expoente  ( 4 ) no coeficiente do termo seguinte e multiplique pelo valor do expoente de a³ e em seguida dividir pela quantidade de termos :

               a⁴ + 4a³ b¹  + 6a²b² + 4 a¹  b³  + 1b⁴ 

 

                4 x 3  = 6      6 x 2 = 4                4 x 1 = 1

                   2                  3                             4

então :

             ( a + b )3   = a⁴ + 4 a³b¹ + 6a²b²  + 4 a¹b³ + 1b¹

desenvolvendo agora ( a + b )⁵ 

( a + b )⁵ =  a⁵ .........................................b⁵    

(a + b ) = a⁵ + ab + ab + ab + ab + b⁵  

( a + b ) =  a⁵  a⁴b¹  a³b²  a²b³  a¹b⁴ b⁵

( a + b ) = a⁵ + 5 a⁴b¹ + 10a³b² + 10 a²b³ + 5 a¹b⁴ + 1b⁵   

5 x 4 = 10         10 x 3 = 10    10 x 2 = 5     5 x 1 = 1    

   2                        3                     4                  5

Obs : mesmo que entre os termos tenha sinal; no desenvolvimento do binômio coloque sempre o sinal de mais entre eles veja:

( a – b )³ = a³ + a² (-b )¹ + 3 a¹ (- b )² + (-b )³

                    3 x 2 = 3

                       2

( a – b ) = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³

Obs: elevar mentalmente o termo negativo ao respectivo expoente e faça o produto dos sinais

(a – b )² =  a²..............................(- b² )

(a – b )² = a² - 2ab + b²

GENERALIZANDO

(3x² + 2y)³ = ?

  a         b

(a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

SUBTITUINDO   a = ( 3x² )    e     b = ( 2y )

( 3x² + 2y)³ = ( 3x² )³ + 3( 3x² )² (2y) + 3( 3x² )(2y ) + (2y)³

( 3x² + 2y) = 27x⁶ + 3 (9x⁴ )(2y) + 3 ( 3x²)(4y²) + 8y³

(3x² + 2y)³ = 27x⁶ + 54xy + 36x²y² + 8y³

IMPORTAMTÍSSIMO : SABER DESENVOLVER PRODUTOS NOTÁVEIS É ASSUNTO BÁSICO DE MATEMÁTICA; POR ISSO DESENVOLVÊ-LAS COM RAPIDEZ

Veja, desenvolver :

01- ( x + a )³ = ( x + a )² ( x + a )

      ( x + a )³ = ( x² + 2ax + a² ) ( x + a )

      ( x + a )³ = x³ + ax³ + 2ax² + 2a²x + a²x + a³ 

      ( x + a )³ = x³ + 3ax² + 3a²x + a³

Obs.: ESTE MÉTODO É TRABALHOSO E LENTO FAÇA ASSIM

( x + a )³ =  x ³    3 a²x          3ax²                  1 a³

                            3 x 2 =              3 x 1 =

2                                                3

( x + a )³ = x³ + 3a²x + 3ax² +a³

02- ( x + a ) (x + b ) = x² + ax + bx +ab

      ( x + a ) ( x + b ) = x² + ( a + b ) + a..b 

Então desenvolver ( x + 2) ( x + 3) = x² + 5x + 6  basta multiplicar os x em seguida somar os termos independentes e multiplicar por “x” e em seguida multiplicar os termos independente

Ex.01-

                          ( x – 5 ) (x + 2 ) = x² -3x –10

    faça isso          -5 + 2 = 3

mentalmente       ( -5 ) ( 2 ) = 10

Ex.02-  ( x – 2 ) ( x + 2 ) = x² - 4

                           -2 +2 = 0

                            (-2 ) (+2) = -4    

* NEM TUDO SÃO FLORES

VEJA Ex. 01-    ( 2x + 3) ( x + 4)

NESTE CASO É PREFERÍVEL APLICAR A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

 

( 2x + 3).( x +  4 ) = 2x²  + 8x + 3x +12

( 2x  + 3 ) ( x + 4 ) = 2x² + 11x + 12

 

Ex.02-    2 x + 5       x  - 3    =

               3     7        2     4  

 

2 x + 5      x – 3    =  2x . 1x  - 2x .3 + 5 .x  - 5 . 3

3      7       2    4         3     2       3   4    7  2    7   4

      

 2 x + 5      x – 3     =  2 x² - 6 x + 5 x – 15

 3       7      2    4         6       12      14      28

 

MMC           6 , 12 , 14 , 28      2

                     3 ,  6  ,  7 ,  14      2

                     3 ,   3,    7 ,  7       3

                     1 ,   1 ,  7 ,    7       7 

                     1 ,   1 ,  1 ,  1           84

28x² - 42x + 30 – 45  =

           84

28x² - 12x – 45

           84

COMO SABER SE O PRODUTO ESTÁ CORRETO ?

BASTA ATRIBUIR VALORES NUMÉRICOS

VEJA EX.01-

( x + 2 ) ( x + 3 ) = x² + 5x +6

ATRIBUIR UM VALOR QUALQUER A “x” POR EXEMPLO x = 1

OBTEMOS : ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) = ( 1)² + 5 ( 1 ) + 6

                         3 . 4 = 1 + 5 +6

                          12 = 12  ESTÁ CORRETO A INDENTIDADE

Ao substituir o valor numérico e não ocorra a identidade então houve erro no desenvolvimento

EX. 02 – ( x² + y )³

                        a        b

( a + b ) ³ = a³ + 3a²b + 3 ab² + b²

substituindo :  a = ( x² )      e      b = ( y )

( x² + y )³ = ( x²)³ + 3 ( x²)² (y) + 3 (x² ) ( y )² + ( y )³

( x² + y)³ = x ⁶ + 3 x⁴y + 3 x²y² +y³

Verificando faça  x = 2   e    y = 2

( 2² + 2 )³ = ( 2 )⁶ + 3.( 2 )⁴.( 2 ) + 3. 2² .2² +2³

6³ = 64 + 96 +48 +8

216 = 216  CORRETO

COMO ELEVAR UM TRINÔMIO DO QUADRADO

Ex. ( a + b + c )² = (a +b ) + 2 ( a + b ) + c²

 

1              2

( a + b + c )² = a² + 2ab + b² + 2 ac + 2bc + c²

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2 ac + 2bc

ou  ( a + b + c )²  = desenvolva você

 

1              2

COMO DESENVOLVER UM BINÔMIO COM EXPOENTES CONTENDO VARIÁVEL

Ex. ( 2^p + 3ⁿ)² = ( 2^p )² + 2.(2^p . 3ⁿ) + (3ⁿ)²

      ( 2  + 3 ⁿ)² = 2².^p + 2 ^p+1. 3ⁿ + 3²ⁿ

Ex. ( x ^m-1 + x ^1-m )² = ( x 2 ^m-1)² + 2x ^m-1. x ^1-m + ( x^1-m)²    

      ( x ^m-1 + x ^1-m )² = x ^2m-2 + 2 x˚ + x^-2-2m 

      ( x ^m-1 + x ^1-m )² = x ^2m-2 + 2  + x^-2-2m 

Ex.    

          x² + 1  ² = ( x ²)² + 2x² .1  +  1   ²

                 x                            x       x

 

          x² + 1  ² = x ⁴ + 2x +x ^-2

                 x

FATORAÇÃO

O que é preciso saber :

Definição : Fatorar é transformar uma soma ou diferença em produto

1º CASO : EVIDENCIAÇÃO

É o processo de separar os termos comuns e de menor expoente

Ex.) a² x³  + a⁴ x⁵ + a⁶x ⁴    

Solução : O “a” e “x” são comuns em todos os termos então coloque o “a” em evidência e seguida dividir cada termo por a²x³

a ²x³ = 1                 a⁴ x ⁵   = a² x²             a⁶ x ⁴ = a⁴ x             

a² x³                       a² x³                            a² x³   

então : a².x³ . 1 + a² x² + a⁴x

Obs: pela definição fatorar é transformar uma soma ou diferença em produto e o sucesso foi obtido.

Ex.02)   4 a³x – 12 a² x² +16^a

 Obs : fatorar  4 , 12 , 16

2² a³ x – 2².3 a².x² + 2^4a

Termos comuns de menor expoente em evidência que é 2²a  então :

2² a³ x = a² x                     2².3 a³ x² = 3ax²           2⁴ a = 2²

 2².a                                       2².a                          2².a

2².a (a²x – 3ax² + 2² )

4a ( a²x – 3ax² + 4)

ex.03)  15a⁴x²y – 20 a³xy² + 30 a²x³

            3.5 a⁴x²y – 2² .5 a³xy² + 2.3.5 a²x³b

             5 a²x.(3 a²xy – 4ay² +6x²)

ex.04)  3 x² y³ - 9 xy  - 15 x³y⁵ 

            8            4          16    

solução:  3x²y³ - 3² xy⁴ - 3.5 x³y⁵ 

                   2³         2²            2⁴

3xy³   x¹ - 3¹y – 5x²y²

 2²      2¹     1        2²

2º CASO : AGRUPAMENTO

Quando a quantidade de termos são em 4 ou 6 termos e existindo termos comuns então coloque em evidência parcialmente.

       1º termo 2ºtermo   3ºtermo  4ºtermo

Ex.1)  ax  +  bx   +  ay   +  by

Solução

 x (a + b ) + y ( a + b)

Agora o termo ( a+b ) é comum aos dois termos então coloque ( a+b ) em evidência

              ( a + b ) ( x + y )

Ex.2) 15 a²b + 3 ac – 20abm – 4 mc

         3a ( 5ab +c) – 4m (5ab +c )

              (5ab + c)( 3^a – 4m)

Ex.3)       ax – bx –ay + by

           x.( a –b) –y.( a - b )

             ( a - b ) ( x – y )

Obs: se os sinais dos termos são diferentes coloque o sinal menos em evidência

* Os sinais sendo comuns eles também são colocados em evidência

IMPORTANTÍSSIMO : EXETO OS CASOS DE EVIDÊNCIAÇÃO, TODOS OS DEMAIS CASOS SAEM POR AGRUPAMENTO

Ex.4). x² + 6x + 9

Para aplicar o caso de agrupamento a quantidade de termos deverá ser sempre par basta decompor o termo central  6x = 3x + 3x

                                                  

                                                      3.3 =9

x² + 3x + 3x + 9

x ( x + 3 ) +3( x + 3)

Ex.5)   x² - 5x + 6

        - 5x = -2x –3x

      

                  ( -2 ).( -3 ) = +6

x² - 2x – 3x +6

x (x – 2 ) –3 ( x – 2)

(x – 2 ) ( x – 3 )

Ex.6)   x² -16

Completando

x² + 0x –16

0x = 4x –4x

         

       (4).(-4) = 16

x² + 4x –4x –16

x (x +4) –4 (x + 4)

(x +4 ) ( x – 4 )

Ex.7)   5x² - 20

Quando o coeficiente de “x” é diferente de um basta multiplicar o coeficiente de “x² ” que é  5 pelo termo independente que é 20

5 x 20 = 100

5x² + 0x – 20

5x² + 10x –10x – 20

0x = 10x –10x

          (10).(-10) = -100

5x.(x + 2 ) – 10 (x + 2)

(x + 2) (5x –10) ou (x + 2) . 5.(x –2)

 

Ex.8)  6x² - 5x +1

      -5x = -3x –2x

                (-3).(-2)=6

6x² -3x –2x –1

3x.(2x –1) –2 (2x –1)

(2x –1) (3x –1)

   

Ex.9)  x³ + a³ = ?

Observe que x³ +a³ é um dos termos do desenvolvimento do binômio ( x + a)³

( x + a)³ = x³ + 3 a¹x² + 3 a²x¹ + a³

Vamos isolar x³ + a³ e transferir 3 ax² e 3 a²x para outro membro

(x + a)³ - 3 ax² - 3 a²x = x³ + a³

(x + a)³ - 3 ax.(x + a) = x³ + a³

(x + a ) [ ( x + a)² - 3 ax] = x³ + a³

( x + a) [ x² + 2 ax + a² - 3 ax] = x³ + a³

(x + a) . ( x² - ax + a²) = x³ + a³

Ex.10) x³ - a³ = ?

Também  é uma conseqüência de (x – a)³ veja:

(x – a)³ = x³ - 3 ax²  + 3 a²x – a³

(x – a)³ = - 3 ax² + 3 a²x = x³ - a³

(x – a)³ + 3 ax (-a + x) = x³ - a³

(x-a) [ (x – a)² + (3ax) ] = x³ - a³

(x – a) [ x² - 2 ax + a² + 3 ax ] = x³ -a³

( x – a) [ x² + ax + a² ] = x³ -a³

3º CASO : DIFERENÇA ENTRE DOIS QUADRADOS

Ex.1)     a² - b²

          √a²     √b²

         (a – b) (a + b)

Basta encontrar a raiz quadrada dos extremos mantendo-se o sinal central e em seguida multiplique pelo seu conjugado observando que o conjugado de

(a – b) é (a + b)

(a + b) é (a –b)

(- a + b) é (-a – b)

(- a –b) é (-a + b)

Ex.2) 25 x² - 4y¹⁰   

        √25x²   √4y¹⁰  

(5x – 2y⁵ ) ( 5x + 2y⁵ )

Obs :É obvio que se você multiplicar (a - b) (a + b) obtemos a² - b²  veja:

 

(a + b)  (a – b) = a² - ab + ab – b²

 

Ex.3) 25 a⁴ b⁶ – 4 x² y⁴        

9                        49

                      

 

5 a²b³ -  2 xy²        5 a²b³ -  2 xy²      

3            7              3             7

                                    

Ex.4) Quanto é

                          2001² - 1999²

esta é uma diferença entre dois quadrados

(2001 – 1999) (2001 – 1999)

     2 . 4000 = 8000

Ex.5) fatorar  x – y   embora seus expoentes não sejam par podemos fatorar x-y tranquilamente

x – y

(√x - √y ) (√x + √y)

Obs: O termo diferença entre dois quadrados não quer dizer necessariamente, que os termos tem que possuir expoente par

x³ - y³ → considerando diferença entre dois quadrados

RARÍSSIMA VEZES ISTO PODERÁ SER FEITO; MAS!

( √x³ - √y³ ) ( √x³ + √y³ )

(x √x – y √y ) ( x √x + y √y )

SOMA ENTRE DOIS QUADRADOS

x² + y² = ?

É fatorável mas “a soma entre dois quadrados não é um caso notável”

x² + y²  são termos do desenvolvimento (x + y)²

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)²  - 2xy = x² + y²

 

podemos considerar

isto como diferença entre dois quadrados

[ (x + y) - √2xy ] [ (x + y) + √2xy ] = x² + y² onde x.y  ≥ 0

Ex.1)  x² + 4 = ?

(x + 2)² = 4x + x² + 4

(x + 2)² - 4x = x² + 4

[ ( x + 2) – 2√x ] . [ ( x + 2) – 2√x ] = x² + 4

(x – 2√x + 2) . (x – 2√x + 2) = x² + 4

Obs: Raríssimas vezes a² + b² é fatorável

4º CASO: TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO

O que caracteriza o trinômio quadrado perfeito é que ele possui três termos e os termos extremos possuem raízes quadradas e o dobro das raízes quadras é exatamente o termo central.Veja: 

Ex1)

x² + 6x + 9   

                                                                CONFERINDO: 2.(3).(x) = 6x

√x²          √9

( x    +      3)²

FORMA FATORADA

Ex.2)          4x²  - 8x +4

              

                  ( 2x  – 2)²                                CONFERINDO: 2.(-2).(2x) = 8x

              forma fatorada

Ex.3)       1 a² b⁴- 5ab³ + 24b² 

                4

  1 ab² -5b                                    CONFERINDO: 2   1 ab²    . (-5b) = -5ab³

  4                                                                                 2

forma fatorada

5ºCASO : TRINÔMIO IMPERFEITO FATORAVEIS

Se os quadrados do trinômio perfeito não são quadrados perfeitos

Ex.01)    x² - 5x + 6

                              Não tem raiz exata

ESTE CASO JÁ FOI VISTO USE ENTÃO FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO DECOMPONDO:

-5x em dois termos

-3x –2x = -5x

(-3).(-2x) = 6

x² - 3x –2x + 6

x (x – 3) – 2.(x-3)

(x – 3).(x-2)

IMPORTANTÍSSIMO: AO SURGIR MAIS DE UM CASO DE FATORAÇÃO É APLICADO VÁRIOS CASOS DE FATORAÇÃO. VEJA

Ex.1)  ax² -ay²

         a.(x² - y²)

a . (x – y) . (x + y)

Ex.2) x² +2ax + a² -9

          ( x + a)² - 9

[ ( x + a ) –3 ] [ x + a +3 ]

(x + a –3) (x + a –3)

Ex.3) 5xy ( a² + 2ab +b²) –4x.(a +b)³

          5xy (a+b)² - 4x (a + b)³

           x (a + b)² [ 5y –4.(a + b ) ]

           x (a + b )² (5y – 4^a – 4b )

Ex.4) y² - b² -y + b

         ( y –b).(y + b) – (y – b)

         (y – b ) . ( y + b –1)

EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS SIMPLIFICAR:

a)      x² -y²     = (x-y) (x + y) =  x + y

   x² - 2xy +y²      ( x – y)²           x - y

b)   x³ - a³ = ( x - a) (x + ax + a²)   = x + ax + a²

      x² - a²      ( x – a) ( x + a)             x + a

c) x² - 5x + 6 = ( x – 2) (x –3) = x – 2

       x² - 9          (x – 3) ( x +3)    x + 3

 

d) x ⁴ + x³ - 6x² = x² (x² + x – 6) =  x ² ( x + 3) ( x – 2) = x ( x –2)   

       x³ - 9x              x ( x²^-0 )             x ( x-3) ( x + 3)         x – 3

e) ( a² - b² - c² -2bc) ( a + b - c) =  ( a² - b² - 2bc – c² )  ( a + b - c) =

 ( a + b + c) ( a² - 2ac + c² – b²)     ( a + b + c) ( a² + c² - 2ac – b²)

[ a² - (b² - 2bc – c²) ] [ a + b + c ] = [ a- ( b + c ) ] [ a + ( b + c ) ] ( a + b – c ) =

 (a + b + c ) [ ( a –c )² - b² ]                ( a + b + c ) [ ( a – c ) – b ] [ ( a – c ) – b ]

(a - b + c) (a + b + c) (a + b – c) = 1

(a + b + c) (a – c – b ) (a – c – b)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) 3x² y² + b xy² - 12 x³y²z

02) 162 a⁴b + 108 a⁷b³ - 378 a²b⁴

03) 12 a⁴bⁿ - 16 a³ b^{n + 1} –20 a²b ^{n+ 2}

04) 16 (x – y)² x  + 24 ( x – y )³ y² + 32 ( x – y)³ z²

05) 4x² - 9

06) 1 – x ⁴

07) a² .b² - 25

08) (a + 36)² - 9 ( b – c)²

09) ( a+b).x² - ( a² - b²).x + (a +b)²

10) x² y² + 162xy + 6561

11) 25x⁴ y² -30x² yz³ + 9z⁶

12) [ (x +y)² -z] : [ x² - (y –z)²]

13) x² + 3xy + 2y²

14) a⁴ – 10a² +9

15) 2bc + b² + c² -a²

16) y² -5y –14

17) x²y² - 12xy +27

18) 1 –6x +12x² - 8x³

19) 27x³ +54a²b² +36ab⁴ + 8b⁶

20) y³ + 8

21) x ⁶ -64

22) 6ax +2ay –3x –3y

23) x⁴ – a² x² - b²x² +a²b²

24) 2ax –2ay –cx –36y +36x +cy

25) (2a +3b –1)² - (a – b +2)²

26) x³ + y² -2xy – a² - b² +2ab

27) a³ - b³ -a (a² - b²) +b (a –b)²

28) 125 a³ - 8b⁹

29) a⁴ – 4 a² b² + 16b⁴ 

APLICAÇÃO DOS CASOS DE FATORAÇÃO:

. DEMONSTRAÇÃO DE FÓRMULA

No regime de juros simples de taxa “ i ” um principal ( c ) transforma-se em “ n ” períodos de tempos em um montante

                                                             M = c ( 1 + in)

M = C + ci + ci + ci +...................................ci

                   1         2      3                                                      n

M = C ( 1 + i + i + i ...................................... i)

M = C ( 1 + in)

No regime de juros compostos de taxa ( i ) um principal ( c ) transforma-se em um “n” período de tempo, em um montante :

                                                               M = C ( 1 + i )ⁿ

M1 = C + ci                                       M1 = C ( 1 + i ) 

Reaplicando M1

M2 = C ( 1 +i ) + c ( 1 + i )i

M2 = C ( 1 + i) ( 1 + i)                    M2 = C ( 1 + i )²

Reaplicando M2

M3 = C ( 1 + i )² + C (1 + i)².i

M3 = C ( 1 + i )² ( 1 + i)                   M3 = C ( 1 + i )³

   

               Mn = C ( 1 + i )ⁿ

Os casos de fatoração

a ² - b² , a diferença entre dois quadrados e   a³ +  b³, a soma e diferença entre dois cubos são muito usadas para remoção do radial em denominadores.

Ex.1)  ___a___= ___a ___. √ a + √b = a ( √a + √b)

            √a - √b    ( √a - √b )  √a + √b          a – b

Obs : Onde  a > 0 ; b >0  e  a ≠ b

Ex2) ___a___   =  ____a__ . ( ³√a² + ³√ab + ³√b²)  = a ( ³√a² + √ab + ³√b²

        ³√a - ³√b       ( √a - √b)           √a + √b                           a – b

Obs: ( a ≠ b ) você acredita que se nós multiplicarmos (³√a - ³√b) ( ³√a² + ³√ab + ³√b²) o resultado será : ( a – b)

Vamos provar :

 

(³√a - ³√b) (³√a² + ³√ab + ³√b²) = ³√ab³ + ³√a²b + ³√ab² - ³√a²b - ³√ab² - ³√b² =

 

= ³√a³ - ³√b³ = ( a – b) 

 

Você sabia que qualquer número que atribuímos a “ √ a² + 2ab + b² ” obtemos sempre um valor que é quadrado perfeito. Vamos dar exemplo, atribuir a = 21 e b = 16

√ ( 21 )² + 2 (21)(16) + (16)²

√ 441 + 672 + 256

 

√ 1369 = 37

è obvio pois

 

√ a² + 2ab + b² = √ (a + b)² = (a + b) substituindo

(a + b ) = ( 21 + 16) = 37